【Java】素集合データ構造[互いに素な集合] (Union Find Tree, Disjoint Set Forest)

2015/05/22 Fri [edit]

　また例によって色々な本を見ているのだが、今回はプログラミングコンテスト攻略のためのアルゴリズムとデータ構造という本の P.322～323 に載っている(C++ 版)「互いに素な集合」(Union Find, Disjoint Set)で少しだけ疑問に思った所があったので分析してみたら、微妙なバグ(?)を見つけた。

　といっても答えは間違ってないので、動作的には問題ない。正誤表にも載ってないね。検索してもそもそもあまり日本語サイトすら出てこなかったので、いつものように Wikipedia を見ながら簡単なものを作ってみた。といってもクラス(本では DisjointSet)部分をそのまま作りなおしたという感じだけどね。

●静的配列版 UnionFindTree

/**<h1>素集合データ構造 (Disjoint Set Forest)</h1>
 * <p>互いに素な集合。
 * <br>内部的には配列で定義されている。</p>
 */
public class UnionFindTree {

    private int[] parent;    //親ノード
    private int[] rank;      //高さ or 次数

    /**<h1>コンストラクタ</h1>
     * <p></p>
     * @param size ： ノード数
     */
    public UnionFindTree(int size) {
        parent = new int[size];
        rank = new int[size];

        for (int i = 0; i < size; i++) {
            makeSet(i);
        }
    }

    /**<h1>ノードを作成する</h1>
     * <p>作成されたノードはルートとなる。
     * <br>元のサイズより大きいノードを指定した場合エラー。</p>
     * @param x ： ノード
     */
    public void makeSet(int x) {
        parent[x] = x;
        rank[x] = 0;
    }

    /**<h1>x, y の属している木を結合する</h1>
     * <p>同じ木の場合は何もしない。</p>
     * @param x ： ノード1
     * @param y ： ノード2
     */
    public void union(int x, int y) {
        final int xRoot = find(x);
        final int yRoot = find(y);

        if (rank[xRoot] > rank[yRoot]) {
            parent[yRoot] = xRoot;        //x の木に結合
        }
        else if(rank[xRoot] < rank[yRoot]) {
            parent[xRoot] = yRoot;        //y の木に結合
        }
        else if (xRoot != yRoot) {        //同じ高さで根が違うとき
            parent[yRoot] = xRoot;        //x の木に結合
            rank[xRoot]++;                //x の木の高さを加算
        }
    }

    /**<h1>属している木のルートを返す</h1>
     * <p>検索したノードは経路圧縮が行われる。</p>
     * @param x ： ノード
     * @return<b>int</b> ： ルートのノード
     */
    public int find(int x) {
        if (x != parent[x]) {    //根でないとき
            parent[x] = find(parent[x]);    //直接、根に繋ぐ(経路圧縮)
        }
        return parent[x];
    }

    /**<h1>同じ木に属しているかどうかを返す</h1>
     * <p>同じルートを持っているかで判別する。</p>
     * @param x ： ノード1
     * @param y ： ノード2
     * @return<b>boolean</b> ： true = 同じ木に属している
     */
    public boolean same(int x, int y) {
        return find(x) == find(y);
    }
}

　内部的には静的配列でノードを定義しているが、LinkedList あたりにして、動的配列にするのもいいかもね。アルゴリズムそのままなので、「UnionFindTree」か「DisjointSet」でググれば同じようなものが一杯出てくると思うが、まぁ、英語でコメント書かれているものばかりなので、こちらを勉強用にする分には役に立つだろう。

　書籍で気になったのは以下の部分だ。

void link(int x, int y) {
    if (rank[x] > rank[y]) {
        p[y] = x;
    } else {
        p[x] = y;
        if (rank[x] == rank[y]) {
            rank[y]++;
        }
    }
}

　これは木を結合する処理だが、入れ子になっている条件分岐をよく見てみると、x, y が元々同じ木だったとき、「rank[x] == rank[y]」の条件に当てはまり、無駄にrankが増える。例題では問題ないし(同じ木のものは結合してない)、答えも正しく出るのだが、まぁ、テストケースによっては危うくなるかも知れない(データ上は rank が大きいが実際には小さかったりすると、正しく木の大きさを評価できないわけで…）。

　ついでなので、以下は内部データを LinkedList にしてみたもの。ほぼ機械的に書き換えてみただけ。後からノードを追加できるメリットがある。

●LinkedList 版 UnionFindTree

import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

/**<h1>素集合データ構造 (Disjoint Set)</h1>
 * <p>互いに素な集合。
 * <br>内部的には LinkedList で定義されている。</p>
 */
public class UnionFindTreeList {

    private List<Integer> parent = new LinkedList<Integer>();    //親ノード
    private List<Integer> rank = new LinkedList<Integer>();      //高さ or 次数

    //コンストラクタ
    /**<h1>空のコンストラクタ</h1>
     * <p>newSet() でノードを新規追加する。</p>
     */
    public UnionFindTreeList() {
    }

    /**<h1>ノード数指定のコンストラクタ</h1>
     * <p>予めノードを生成する。</p>
     * @param size ： ノード数
     */
    public UnionFindTreeList(int size) {
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            parent.add(i);
            rank.add(0);
        }
    }

    /**<h1>ノードを新規に追加する。</h1>
     * <p>最後に追加され、ルートとなる。</p>
     * @return<b>int</b> ： 追加されたノード
     */
    public int newSet() {
        final int x = parent.size();
        parent.add(x);
        rank.add(0);
        return x;
    }

    /**<h1>ノードを作成する</h1>
     * <p>作成されたノードはルートとなる。
     * <br>元のサイズより大きいノードを指定した場合エラー。</p>
     * @param x ： ノード
     */
    public void makeSet(int x) {
        parent.set(x, x);
        rank.set(x, 0);
    }

    /**<h1>x, y の属している木を結合する</h1>
     * <p>同じ木の場合は何もしない。</p>
     * @param x ： ノード1
     * @param y ： ノード2
     */
    public void union(int x, int y) {
        final int xRoot = find(x);
        final int yRoot = find(y);

        if (rank.get(xRoot) > rank.get(yRoot)) {
            parent.set(yRoot, xRoot);    //x の木に結合
        }
        else if(rank.get(xRoot) < rank.get(yRoot)) {
            parent.set(xRoot, yRoot);    //y の木に結合
        }
        else if (xRoot != yRoot) {        //同じ高さで根が違うとき
            parent.set(yRoot, xRoot);    //x の木に結合
            rank.set(xRoot, rank.get(xRoot) + 1);    //x の木の高さを加算
        }
    }

    /**<h1>属している木のルートを返す</h1>
     * <p>検索したノードは経路圧縮が行われる。</p>
     * @param x ： ノード
     * @return<b>int</b> ： ルートのノード
     */
    public int find(int x) {
        if (x != parent.get(x)) {    //根でないとき
            parent.set(x, find(parent.get(x)));    //直接、根に繋ぐ(経路圧縮)
        }
        return parent.get(x);
    }

    /**<h1>同じ木に属しているかどうかを返す</h1>
     * <p>同じルートを持っているかで判別する。</p>
     * @param x ： ノード1
     * @param y ： ノード2
     * @return<b>boolean</b> ： true = 同じ木に属している
     */
    public boolean same(int x, int y) {
        return find(x) == find(y);
    }

    /**<h1>全ノードを消去</h1>
     * <p>内部の LinkedList をクリアする。</p>
     */
    public void clear() {
        parent.clear();
        rank.clear();
    }
}

　newSet() と clear() は勝手に作ったメソッドだが、連番のノード追加と全消去しかできない。データ型も Integer で固定しているが、Long やジェネリクス型にしても良いだろう。しかしそのときはループ変数なども変更しなければならないかも知れない。

　オーダーは O(log n) なので大量にデータがあるときには良いね。複雑な迷路の経路判定とか。

　まぁ、データ構造は使えれば高速化できるものが多いので、知っていても損はないだろう。