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【Java】クラスカル法[最小全域木] (Kruskal's algorithm, Minimum Spannig Tree)  


 クラスカル法最小全域木を求めるアルゴリズムである。解説などは Wikipedia や他のホームページなどに譲るが、実は前回作った「Union Find Tree」を使うと簡単にできてしまうので、ちょっと書いてみる。

 擬似コードを見ると少し難しく感じるが、このアルゴリズムを超大雑把に言うと、辺の重みのリストから、重みの小さい順に取り出し、閉路を作らないように繋ぎ合わせていくと(ここで Union-Find を使う)、最終的に最小全域木ができるというものだ。

 今回も「プログラミングコンテスト攻略のためのアルゴリズムとデータ構造」という本(P.361~362) をベースに考えているが(元は C++ 版)、重みを小さい順に取り出す部分は、より簡潔にするため、優先度付きキュー(PriorityQueue)を使っている。もちろん書籍のようにリストを昇順ソートして、頭から順次取り出しでも良い。

 サンプル中の「UnionFindTree」クラスは前回作ったものをそのまま使う。

●クラスカル法[最小全域木] Kruskal
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Queue;

//最小全域木(クラスカル法)
public class Kruskal {

public static void main(String[] args) throws Exception {
new Kruskal();
}

public Kruskal() {
//Wikipedia の例(図)をデータにしたもの
int n = 7; //頂点数
int[][] adj = new int[][]{
//接続元ノード, 接続先ノード, 重み
{0, 1, 7},
{0, 3, 5},
{1, 2, 8},
{1, 3, 9},
{1, 4, 7},
{2, 4, 5},
{3, 4, 15},
{3, 5, 6},
{4, 5, 8},
{4, 6, 9},
{5, 6, 11}
}; //答えは 39

List<Edge> edges = new LinkedList<Edge>(); //辺の情報
for (int i = 0; i < adj.length; i++) {
edges.add(new Edge(adj[i][0], adj[i][1], adj[i][2]));
}

int ans = kruskal(n, edges);
System.out.println(ans); //最小全域木の重み
}

//クラスカル法[最小全域木(Minimum Spannig Tree)]
int kruskal(int n, List<Edge> edges) {
UnionFindTree uft = new UnionFindTree(n); //閉路判定用
Queue<Edge> q = new PriorityQueue<Edge>(edges);

int totalCost = 0; //最小全域木の重み
while (!q.isEmpty()) {
Edge e = q.poll();
if (!uft.same(e.source, e.target)) {
totalCost += e.cost;
uft.union(e.source, e.target);
}
}

return totalCost;
}

//辺情報の構造体
class Edge implements Comparable<Edge> {
public int source = 0; //接続元ノード
public int target = 0; //接続先ノード
public int cost = 0; //重み

public Edge(int source, int target, int cost) {
this.source = source;
this.target = target;
this.cost = cost;
}

@Override
public int compareTo(Edge o) {
return this.cost - o.cost;
}

@Override
public String toString() { //デバッグ用
return "source = " + source + ", target = " + target + ", cost = " + cost;
}
}
}

 優先度付きキュー(PriorityQueue)の順番は辺情報の構造体(Edge)に Comparable インタフェースを噛ませて、コストを比較しているが、PriorityQueue のコンストラクタに Comparator を匿名クラスで定義しても良いだろう。そうすれば優先順位は色々変更できる。

 この例では戻値は最小全域木の総コストを返しているが、選択した辺を知りたければ、少し改造して辺のリストを記録すれば良い。

●クラスカル法で選択した辺を返す版
・・・(略)・・・
public class Kruskal {
・・・(略)・・・
public Kruskal() {
・・・(略)・・・
List<Edge> paths = new LinkedList<Edge>(); //選択した辺(戻値用)

int ans = kruskal(n, edges, paths);
System.out.println(ans); //最小全域木の重み

//選択した辺
for (Edge e : paths) {
System.out.println(e);
}
}

//クラスカル法[最小全域木(Minimum Spannig Tree)]
//選択した辺を返す
int kruskal(int n, List<Edge> edges, List<Edge> paths) {
UnionFindTree uft = new UnionFindTree(n); //閉路判定用
Queue<Edge> q = new PriorityQueue<Edge>(edges);

paths.clear();
int totalCost = 0; //最小全域木の重み
while (!q.isEmpty()) {
Edge e = q.poll();
if (!uft.same(e.source, e.target)) {
totalCost += e.cost;
uft.union(e.source, e.target);
paths.add(e); //選択した辺を記録
}
}

return totalCost;
}
・・・(略)・・・
}

 コストを時間と考えて、路線図みたいなものの最小全域木(最短経路)を求めるのに良いかもね。アルゴリズムを利用するには「何に使えるか?」を想像してみると覚えやすくなるかも知れない。


 最近よくアルゴリズムを検索しているが、高度なものになるほど、ほとんどが海外ページだったりするので、書籍を参考にするのも良いかもね。ただし本は C や C++ 版が多いけどね。ネット上だと Ruby や Python が多い気がする。「プログラミングコンテスト攻略のためのアルゴリズムとデータ構造」(C,C++)は、昔読んだ「定本 Cプログラマのためのアルゴリズムとデータ構造」よりも、図解やサンプルコードが多くてわかりやすい。同じようなタイトルはいくつも出ているので、1冊くらい読んでみると役に立つかも知れない。最近では Wikipedia みたいなネット事典でも手軽に見れるようになったので、他の資料と合わせて、色々検証してみると理解が深まりやすい。





(関連記事)
【Java】プリム法[最小全域木] (Prim's algorithm, Minimum Spannig Tree)
【Java】素集合データ構造[互いに素な集合] (Union Find Tree, Disjoint Set Forest)
【Java】ダイクストラ法[単一始点最短経路] (Dijkstra's algorithm, Single Source Shortest Path)
【Java】ベルマン-フォード法[単一始点最短経路] (Bellman-Ford algorithm, Single Source Shortest Path)
【Java】ワーシャル-フロイド法[全点対間最短経路] (Warshall-Floyd algorithm, All Pairs Shortest Path)


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